यदि f(x) = begin{cases} -x-frac{pi}{2}, & x l | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \ x-1, & 0 < x \leq 1 \ \ln x

Vedclass · Accepted Answer

$(A, B, C, D)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \ -\cos x, & -\frac{\pi}{2}  1 \end{cases}$.$1$. $x=-\frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य:$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 0$.$RHL = \lim_{h 	o 0} -\cos(-\frac{\pi}{2}+h) = 0$.चूंकि $LHL = RHL = f(-\frac{\pi}{2})$,इसलिए $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है। (कथन $A$ सत्य है)।$2$. $x=0$ पर अवकलनीयता:$LHD = \frac{d}{dx}(-\cos x)|_{x=0} = \sin(0) = 0$.$RHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=0} = 1$.चूंकि $LHD 
eq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। (कथन $B$ सत्य है)।$3$. $x=1$ पर अवकलनीयता:$LHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=1} = 1$.$RHD = \frac{d}{dx}(\ln x)|_{x=1} = 1$.चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है। (कथन $C$ सत्य है)।$4$. $x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीयता:चूंकि $-\frac{3}{2} अतः,सभी कथन $A, B, C, D$ सत्य हैं।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

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मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। यदि $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ है,तो $\lim_{x \to 2} g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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